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Asignatura Optativa 2º Cuatrimestre (se recomienda cursarla en segundo ciclo) 7'5 Créditos Profesor: Manuel García Román, despacho 69 (3ª planta). Tutorías: Martes y Jueves de 16:00 a 18:00 y Viernes de 12:00 a 14:00.
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El álgebra es la rama de las matemáticas que se ocupa de la resolución de ecuaciones polinomiales (también llamadas algebraicas). Dependiendo del grado de las ecuaciones (lineales o de grado superior), del número de variables (una o más), de como deben ser las soluciones (números enteros, reales, complejos,...), etc. se utilizan unas técnicas u otras. Esto da origen a distintas subramas dentro del álgebra (álgebra lineal, teoría de Galois, aritmética,...). La geometría algebraica es la parte del álgebra que se ocupa de los sistemas de ecuaciones polinomiales con más de una incógnita y cuyas soluciones son elementos de un cuerpo. Las soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales con n incógnitas se pueden estudiar como el conjunto de puntos del espacio afín n-dimensional cuyas coordenadas satisfacen el sistema. Los conjuntos de soluciones se corresponden con ideales del anillo de polinomios en n variables, y muchas de sus propiedades geométricas se traducen en propiedades algebraicas de dichos ideales y viceversa. Esta correspondencia se conoce comunmente como diccionario álgebra-geometría.
La primera parte de la asignatura está dedicada al estudio de las propiedades básicas de dichos conjuntos de soluciones, y más concretamente, a las de aquellos que son irreducibles, pues los que no lo son siempre se pueden construir como unión finita de irreducibles de manera única. Se estudiarán los conceptos y las propiedades fundamentales de las variedades algebraicas afines y proyectivas. Se verá qué clase de flechas se utilizan para construir una categoría que tenga como objetos a las variedades, y qué significa que dos variedades sean isomorfas en dicha categoría. También se tratarán conceptos geométricos como el de dimensión, y su conexión con nociones algebraicas abstractas como la dependencia entera y los Teoremas del Ascenso y el Descenso de Cohen-Seidenberg. Para concluir esta primera parte se estudiará una generalización del concepto de variedad en anillos que no son necesariamente anillos de polinomios, pero que permite relacionar propiedades algebraicas de dichos anillos con propiedades geométricas.
En la segunda parte de la asignatura se estudiará una herramienta que actualmente está siendo muy utilizada: las bases de Gröbner de ideales de polinomios. Esta herramienta fue introducida independientemente por Hironaka en 1964 y Bruno Buchberger en 1965, aunque los primeros pasos fueros dados por F. S. Macaulay, que ya en 1927 dotó de órdenes totales a los monomios de un anillo y los usó para caracterizar las posibles funciones de Hilbert de ideales graduados comparándolos con ideales monomiales. Sin embargo, es desde fechas relativamente recientes que su aplicación ha experimentado un auge, sin duda motivado por la aparición de máquinas con capacidad de cálculo suficiente. Se estudiará el algoritmo de Buchberger, y una vez que el alumno haya aprendido a aplicarlo manualmente, se recurrirá a algún paquete de álgebra simbólica en el que esté implementado el algoritmo con el objeto de calcular bastantes ejemplos de bases de Gröbner. Veremos también algunas de las aplicaciones efectivas de las bases de Gröbner a problemos concretos, como el de pertenencia de un polinomio a un ideal, el cálculo de las soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas, y a otros que a primera vista están menos relacionados con el álgebra de polinomios, como la demostración de algunos teoremas de geometría (Th. de Pappus,...).
Bibliografía Recomendada
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